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【数论】蓝桥杯历届试题 小数第n位

http://lx.lanqiao.cn/problem.page?gpid=T456

问题描述
  我们知道,整数做除法时,有时得到有限小数,有时得到无限循环小数。
  如果我们把有限小数的末尾加上无限多个0,它们就有了统一的形式。


  本题的任务是:在上面的约定下,求整数除法小数点后的第n位开始的3位数。
输入格式
  一行三个整数:a b n,用空格分开。a是被除数,b是除数,n是所求的小数后位置(0<a,b,n<1000000000)
输出格式
  一行3位数字,表示:a除以b,小数后第n位开始的3位数字。
样例输入
1 8 1
样例输出
125
样例输入
1 8 3
样例输出
500
样例输入
282866 999000 6
样例输出
914

考虑到n取1e10,double的精度肯定是不够的。所以把数字放大10^n+2倍%1000进行计算。但由于b和1000不一定互质,所以不一定找得到逆元。

这里介绍一个公式

[latex]

\frac{a}{b} \mod p = \frac{a \mod b \times p}{b}

所以本题:

\frac{a}{b} \times 10^{n+2} \mod 10^3 = \frac{a \times 10^{n+2} \mod b \times 10^3}{b}

= \frac{(a \mod b \times 10^3) \times (10^{n+2} \mod b \times 10^3)}{b}

n取1e10,所以快速幂一下。就做完了,简单数论

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a,b,n,mod;
ll ksm(ll n,ll k)
{
	ll ret=1;
	while(k)
	{
		if(k&1) ret=((ret%mod)*(n%mod))%mod;
		n=(n%mod)*(n%mod);
		k>>=1;	
	}
	return ret%mod;
}
int main()
{
	cin>>a>>b>>n;
	mod=b*1000;
	ll son=(a%mod*ksm(10,n+2))%mod;
	ll ans=son/b;
	cout<<ans;
} 

 

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